§3   多因素试验设计 (2课时)

习题1-3

3.1 多因素试验

上面谈到的农业试验中，只涉及一个因素(品种)，常称这样的问题为单因素试验问题。

在实际中，遇到的问题往往是多因素的，如何考虑多因素的试验设计，是我们要关注的问题。

实例分析

例如某一个化工试验，它的目标是为了提高一种化学产品的产量。对产量有影响的因素主要有三个：反应温度、反应时间和催化剂种类。通过做试验的办法，确定三个因素的合适取值。
根据经验，三个因素的取值有一定范围。试验中，分别对每个因素取几个值。

例如，温度取80 、70 两个值；反应时间取2.5小时、3.5小时；催化剂可选用甲、乙两种。

现在，我们的问题是选什么样的温度，多长的加工时间，哪一种催化剂，才能使产量最高。

为叙述方便，这里把因素“反应温度”记为A，则它的两个取值可记为A1=80 ，A2=70 。类似地，把因素“反应时间”记为B，其两个取值记为B1=2.5小时，B2=3.5小时。记“催化剂种类”为C，两个取值记作C1=甲种，C2=乙种。

抽象概括

试验首先应该明确试验目标(一般称为试验的指标)。例如上面化工试验中化学产品的产量。

影响试验目标的条件称为试验中要考虑的因素(也称因素)。像本例中的“反应温度” 、“反应时间”和“催化剂种类”。

在试验中，每个因素可根据实际情况取几个值。因素的每个取值称为因素的一个水平。例如前面提到的因素“反应温度”取了两个水平：80 ，70 。

常用字母A、B、C、D等表示因素，给字母加脚标1、2、3等来表示因素的各个水平。例如因素反应温度（A）的两个水平为：A1=80 ，A2=70 。

在这个化工试验中，共有3个因素，每个因素都是2水平，把它称为二水平三因素试验，简记为23型试验。

因素和水平的确定是由专业人员决定的。数学工作者将协助专业人员寻找较好的试验设计方案。

3.2常见试验设计方案

方案1——全面实施方案

方案设计

我们可以把所有8种搭配方案都试验一次。即
(1)A1B1C1，(2)A1B1C2，(3)A1B2C1，(4)A1B2C2，
(5)A2B1C1，(6)A2B1C2，(7)A2B2C1，(8)A2B2C2。

这里第一号试验(A1B1C1)具体是指：反应温度A1=80 ，反应时间B1=2.5小时，催化剂选用C1=甲种。其它类似。

这是一种试验设计，我们称之为全面实施方案。

方案分析

这个方案的优点是一定可以找到所有搭配中最优的方案。

不过，它的缺点也是明显的——试验次数过多。特别是在因素数目较多、水平取的较多的情况下，即使想这样做可能也办不到。

例如：在某个试验中，影响试验指标的因素有13个，每个因素都取3个值，如果把所有的情况都试一遍，则要做313=1594323个试验。

思考交流

1594323个试验是个什么概念？如果一个人每天做10个，需要多少年完成？

方案2——逐个因素寻找法

方案设计

下面的方法是目前广泛使用的。

第一步 根据以往经验，先固定其中两个因素的水平(不妨设为A1B1)，选择第三个因素的不同水平做试验，即A1B1C1和A1B1C2，比较结果。

假如试验A1B1C1的结果比A1B1C2的结果好，就可以认为因素C的好水平为C1。

第二步 在选定因素C的好水平C1后，固定因素A的水平(如A1)，对因素B进行选择。

比较试验A1B1C1和A1B2C1的结果。

假如试验A1B2C1的结果比A1B1C1的结果好，就可以认为因素B的好水平为B2。

第三步 固定因素C、B的好水平C1、B2，对因素A进行选择。

比较试验A1B2C1和A2B2C1的结果。

假如试验A2B2C1的结果比A1B2C1的结果好，就可以认为因素A的好水平为A2。

这样，我们做四次试验，就选定了一个较优的组合(A2B2C1)。

这种方法称为逐个因素寻找法。

方案分析

这个方案的优点是减少了试验次数。不过，这种方法的缺点也是显而易见的。

以因素C为例，其水平C1只是在因素A、B固定为A1B1时是最好的，至于在因素A、B的组合变为A2B2时，因素C是不是还是C1最好，就不一定了。

思考交流

在某个试验中，如果影响试验指标的因素有4个，每个因素都取2个水平，用逐个因素寻找法处理这个问题，需要进行多少次试验？

练习

1、为提高某种橡胶的质量，取“促进剂总量(A)”，“碳黑品种(B)”和“硫磺量(C)”三个因素，每个因素取两个水平。

(1)指出这8个试验各是什么？

(2)最佳的组合是哪一个？

2、用逐个因素寻找法解决上题。

(1)找到的最佳组合是什么？(注：1：先固定因素A、B为A1B2；2：试验数据可查上面的数据表)

(2)与第1题得到的结果一致吗？如果最初始因素A、B先固定为A1B1呢？

对2.1中提到的化工试验，我们还可以采取以下方法。

方案3——综合比较方案

方案设计

在所有的8个试验中，我们做如下的四个试验(方案见表3-1)

第一组两个试验的结果分别为 y1、 y3；

第二组两个试验的结果分别为 y2、 y4。

为要比较A1与A2的优劣，可比较( y1+ y3)的( y2+ y4)大小。

这里，在对 y1+ y3与  y2+ y4进行比较的时候，已经基本剔除掉了因素B、C的影响。

如果试验结果是以越大越好。显然，当( y1+ y3)>(  y2+ y4)时，就说明A1比A2好；当( y1+ y3)<(  y2+ y4)时，则说明A2比A1好。

如果不是采用上面的分析方法，而是仅仅比较某两个试验的结果，则无从知道因素水平的优劣。这种分析的方法就叫综合比较法。

方案分析

可见，通过综合比较，我们就可以得出A1与A2的优劣。类似地，可以比较出B1与B2以及C1与C2的优劣。最后把各因素的好水平集中到一起，得到一个最优的组合。
这个方案的试验次数也较少。

思考交流

在上面给出的试验方案中，如何比较因素B的两个水平的优劣？ 如何比较因素C的两个水平的优劣？

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