同学们关于对称知道多少？不要告诉我你只知道对称轴和对称中心。对称这种关系非常美妙，不信，请看。

不知你留心没有，生活中有很多美丽的图形。它们或者左右对折完全重合，或者围绕某一点旋转180°之后完全重合，其实这都是数学中的对称美。

对称在建筑中的应用也非常广泛。如北京的整个城市布局是以故宫、天安门、人民英雄纪念碑、前门为中轴线（对称轴）两边对称的。对称还是自然界的一种生理现象。不少的动、植物都有自己的对称形式。如人体眼睛的对称使人观看物体能够更加准确；双耳的对称能使所听到的声音具有较强的立体感，确定声源的位置；双手、双脚的对称能保持人体的平衡。

对称不光有艺术的美，也有思维的美。

对称思维是一种创造思维，对我们今后的科学研究及教学都是很重要的．正如著名物理学家李政道教授所指出的：“……它适用于我们宇宙的产生到微观亚核反应的一切自然现象。”

科学家赫谢耳1800年在红光区域外侧发现了红外线后，人们根据对称思维就猜测在紫光区域外也可能有一种看不见的射线．后来，科学家里特在1801年果然在实验中发现了这种射线，即紫外线。
在基本粒子的研究中，人们根据对称性，由已经发现的粒子猜测可能有反粒子(质量相同而电荷相反的粒子)存在，后来被实验完全证实。

数学中最深刻而且应用很广的重要概念之一“群”，就是法国年轻数学家伽罗华(Galois)在研究多项式方程根的对称性问题中产生的。他用群的理论证明了五次以上的代数方程不能用代数方法求解以及代数方程可以求解的根本原理是什么。这成为数学史上最辉煌的思想之一。

二百多年前德国九岁的小高斯，以出乎老师意料的速度口算出1+2+3+…+98+99+100=5050。他采用的实际上是对称的方法。这种方法渊源古老，少说也有几千年！

当人们第一次进行梯形面积计算时，所用的就是这种方法。

 
公元1796年，当高斯19岁时，他以其特有的关于对称的思考，一举推翻了两千年来人们关于“边数为大于5质数的正多边形，不可能用尺规作出”的猜想，确确实实地找到了正十七边形的作法。
下表列出了边数 不超过100，而能用尺规作图的正多边形种类，总共24个：

下面是这道精彩的智力题也很好地用到了对称的思想。

A、B是两根形状和重量都一样的条铁，其中有一根带有磁性。如果不用这两根条铁以外的东西，问怎样才能辨出哪根是磁铁？

两根条铁放成“T”字型。这种对称的放置，实际上已经给出了问题的解答。若横向放置的条铁带有磁性，那么在这种对称的位置上，它们不表现磁性；若竖向放置的条铁带有磁性，那么它们会表现出磁性。
 

对称的启示，常常产生意想不到的效果。

某食糖商店天平坏了，商店负责人决定不再零售食糖，不巧此时来了一位顾客，急需一公斤食糖，售货员急人所难，采用了通融的办法，把一公斤糖分成两份来称。第一次天平的右盘放500克砝码，左盘放食糖，取平衡；第二次右盘放食糖，左盘放500克砝码，也取平衡。售货员想，天平已经不准确了，它的左右臂长不相等，这样两次称出的糖一定有一次比500克多些，而另一次则少些，两次加在一起，取多补少，大约该是1000克，即1公斤吧！于是，他向顾客收了一公斤食糖的钱。
 
话说那位顾客可是个喜欢动脑筋的人，当他看到售货员的动作，心里便明白了三分，思考片刻后他发话了，说是售货员少收了钱，所称食糖不止一公斤！

原来他是根据杠杆原理，由两次称量得出两个对称的关系式：

，其中W1,W2分别是前后两次食糖的实际重量， a,b分别是天平的左右臂长。

所称食糖重量为 。

因为左右臂长不等，即a不等于b

所以， W1+W2>1000 。

同学们知道吗？就利用这个不准确的天平，也能称出准确的一公斤食糖！这个问题留给同学们去完成吧。

其实，在抽象的函数中，也有对称的美呢！

同学们都知道，奇函数的图像关于原点呈中心对称，而偶函数的图像关于 轴呈轴对称。但是，同学们知道吗？任何一个函数(当然其定义域应该关于原点对称，为什么呢？同学们可以自己回答这个问题)的图像都可以由一个奇函数和一个偶函数的图像叠加而成！

例如，函数 的图像是下图中的实线，它可以由图中两条虚线叠加而成，这两条虚线分别是一个奇函数和一个偶函数的图像。

 
为什么会是这样的呢？我们来证明一下。

设f(x)是一个定义域原点对称的任意函数，并且f(x)=g(x)+h(x)，其中g(x)是奇函数，h(x)是偶函数。

因为， f(x)=g(x)+h(x)

所以，f(-x)=g(-x)+h(-x)， 即f(-x)=-g(x)+h(x)，

于是， g(x)=1/2[f(x)-f(-x)]，h(x)=1/2[f(x)+f(-x)]
 
这样就证明了，以上结论。

我们可以设想，是否可以将对称图形才具有的性质应用到任意函数的图象上去呢？同学们可以在这方面作一些思考。

事实上，不光是图象才具有对称性。

在代数上，形如 等等均为对称多项式（即多项式中任何两个变元对调后所得多项式与原多项式相同）。

从更广泛的意义上讲，“数论”中的奇数和偶数、质数与合数；“代数”中的正数和负数；“三角”中的正弦与余弦、正切与余切、正割与余割等等也可视为对称概念。

从运算关系角度看：加与减、乘与除、乘方与开方、指数与对数、微分与积分、矩阵与逆矩阵、…，这些互逆运算也可视为“对称”关系。

从函数角度看：函数与反函数也可视为一种“对称”。

从命题角度看：正定理与逆定理、否定理、逆否定理等也存在着对称关系。

“共轭”也蕴含“对称”性。

“对偶”关系也可视为“对称”形式。

我们常常可以从这种对称形式中得到许多启发。

例如：已知x,y,z属于R ，A、B、C为一个三角形的三内角，试证明： 。

要证明此结论，只要证明 。

注意到此不等式中 的关系是对称的，因此可以任选一个作为主要变量。不妨设 ，只要证明 。

由于f(x)是关于x 的二次函数，故只要证明即可。

当然，我们也可以以y或z为主要变量。

对称关系除了美观，以及开拓我们的思维以外，它还有一些非常重要的性质。

比如当轮轴位于轮子的对称中心时，轮子转动起来才最平稳。因此，汽车一段时间以后需要去作动平衡调整，以免出事故。

飞机的对称使飞机在在空中更好地保持平衡。

对称的诸多美妙的性质有待于同学们去发现。科普名著《完美的对称》非常值得大家去读一读，动手去把它找来吧！

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